A fast algorithm for ∈R-1 factorization of Toeplitz matrices

In this paper a new order recursive algorithm for the efficient 9B-l factorization of Toeplitz matrices is described. The proposed algorithm can be seen as a fast modified Gram-Schmidt method which recursively computes the orthonormal columns si, i = 1,2, . ,p, of 1, as well as the elements of WI, of a Toeplitz matrix X with dimensions L x p. The 2 factor estimation requires 8Lp MADS (multiplications and divisions). Matrix 9-l is subsequently estimated using 3p2 MADS. A faster algorithm, based on a mixed 9 and W’ updating scheme, is also derived. It requires 7Lp + 3.5~~ MADS. The algorithm can be efficiently applied to batch least squares FIR filtering and system identification. When determination of the optimal filter is the desired task it can be utilized to compute the least squares filter in an order recursive way. The algorithm operates directly on the experimental data, overcoming the need for covariance estimates. An orthogonalized version of the proposed _?2W-’ algorithm is derived. Matlab code implementing the algorithm is also supplied. Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein neuer ordnungsrekursiver Algorithmus zur effizienten Z!g’ Faktorisierung von Toeplitz-Matrizen beschrieben. Der vorgeschlagene Algorithmus kann als schnelle Modifizierte Gram-Schmidt-Methode betrachtet werden, bei der die orthonormalen Spalten di, i = 1,2, . . . ,p, von 9 sowie die Elemente von W’ einer Toeplitz-Matrix .% mit der Dimension L x p berechnet werden. Der 9-Faktor wird mit einem Aufw&d von 8Lp MADs (Multiplikationen und Divisionen) geschgtzt. Die Matrix W’ wird fortlaufend unter Anwendung von 3p2 MADs geschltzt. Weiterhin wird ein schnellerer Algorithmus abgeleitet, der auf einem gemischten 9 und W’ Aktualisierungsschema basiert. Er erfordert 7Lp + 3.5~~ MADs. Der Algorithmus kann effizient zur Echtzeit Least-Squares FIRFilterung und Systemidentifkation benutzt werden. Wenn die Bestimmung des Optimalfilters verlangt ist, kann er zur Berechnung des Least-Squares-Filter in ordnungsrekursiver Form herangezogen werden. Der Algorithmus arbeitet direkt mit Hilfe der experimentellen Daten und vermeidet die Schiitzung der Kovarianz. Es wird eine orthogonalisierte Version des vorgeschlagenen 499’ Algorithmus abgeleitet. Eine Matlab Implementierung des Algorithmus wird angegeben. Rbumiz Dans cet article, un nouvel algorithme rtcursif d’ordre permettant une factorisation 1@’ efficace des matrices de Toeplitz est dCcrit. L’algorithme propost: peut &tre vu comme une mCthode rapide de Gram-Schmidt Modifit: laquelle calcule rCcursivement les colonnes orthonormales li, i = 1,2, , p, de 9 ainsi que les iltments de W’ d’une matrice X de Toeplitz de dimension L x p. Le facteur 9 est estimC en terme de 8Lp MADS (Multiplications et Divisions). La matrice W ’ est estimte ultkrieurement en utilisant le MADS 3~‘. Un algorithme plus rapide basi: sur un schCma de rafraichissement mixte de 9 et de W-’ est Cgalement dtcrit. I1 nCcessite 7Lp + 3.5~~ MADS. L’algorithme peut Ctre 0165-1684,/95/$9.50